1. 연립방정식의 기하적 해석

1. 행렬을 이용한 연립방정식의 표현

연립방정식(System of equations)의 풀이는 선형대수학이 다루는 핵심 문제 중 하나입니다. 아래 미지수가 2개인 2개의 1차방정식을 살펴보겠습니다.

 

$$ x - 2y = 1 $$

$$ 3x + 2y = 11 $$

 

선형대수에서는 위와 같은 연립방정식을 행렬과 벡터의 곱으로 조금 더 간소하게 표현합니다. 이를 통해 2개였던 식을 행렬 곱셈을 이용하여 마치 하나의 연산인것처럼 표현할 수 있습니다.

 

$$ \begin{bmatrix}1 & -2\\3 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix}$$

 

이 글에서는 Row Picture와 Column Picture라는 두가지 관점에서 미지수 \(x\)와 \(y\)의 값을 구하는 방법을 다룹니다. 학교에서 배운 가감법, 대입법 등의 방식이 아닌 기하적인 관점에서 연립방정식의 풀이를 살펴보도록 하겠습니다.

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2. Row Picture를 이용한 연립방정식의 풀이

교육과정의 특성상 저희는 연립방정식을 기하적으로 풀이할 때 자연스럽게 Row Picture를 먼저 떠올리는 경우가 많습니다. 각 방정식을 만족하는 \(x, y\)의 집합을 구한 뒤, 두 집합에 모두 속하는 원소를 찾습니다. 이 문제의 경우 2차원 평면에서 두 직선의 교점을 찾는 것이 곧 풀이가 됩니다.

 

Row Picture : 두 직선이 만나는 (3, 1)이 방정식의 해입니다

 

행렬의 행(Row)을 기준으로 각 직선을 그리고, 직선들의 교점이 \((3, 1)\)가 됨을 확인함으로써 \(x=3, y=1\)가 해가 됨을 알 수 있습니다. 직관적이고, 방정식의 해가 그림 상에서 명확히 보인다는 장점이 있지만 미지수의 개수가 늘어날수록 이를 상상하기 어려워집니다. 설명을 위해 하나의 예시를 더 살펴보겠습니다.

 

$$ 2x - y = 0 $$

$$ -x + 2y - z = -1 $$

$$ -3y + 4z = 4 $$

 

등식이 3개로 늘어남에 따라 각 방정식을 만족하는 해의 집합은 3차원 공간에서의 2차원 평면으로 표현 가능합니다. 따라서 3차원 공간에서 세개의 평면이 만나는 점을 찾는 것이 곧 문제의 풀이가 됩니다.

 

Row Picture : 세 2차원 평면이 만나는 (0, 0, 1)이 방정식의 해가 됩니다

 

3차원 공간을 상상하거나 이를 손으로 그려 답을 확인하는 것이 2차원 공간을 다룰때만큼 수월하지는 않습니다. 더 나아가 4차원, 9차원, 100차원으로 문제가 확장될수록 Row Picture의 관점에서 문제를 해결하는 것은 상상 가능한 범위를 넘어설 것입니다. 이러한 Row Picture 과점의 한계를 보완할 수 있는 Column Picture 관점을 이어서 살펴보겠습니다.

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3. Column Picture를 이용한 연립방정식의 풀이

Column Picture 관점은 행렬의 각 열벡터(Column Vector)의 선형결합을 통해 우항의 벡터를 만드는 것에 초점을 두고 연립방정식을 풀이합니다. 선형결합이란 각 항에 상수를 곱하고 그 결과들을 합으로 표현하는 것을 의미합니다. 아래는 두 벡터를 선형결합한 예시입니다. 여기에서 "각 항"은 벡터의 형태로 주어져있으며 각각 상수 \(2\)와 \(-3\)이 곱해져 있습니다.

 

$$ 2 \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix}-1 \\ 0\end{bmatrix}$$

 

Column Picture를 이용하여 아래의 방정식을 해결하기 위한 절차를 살펴보겠습니다.

 

$$ \begin{bmatrix}1 & -2\\3 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix}$$

 

행렬과 벡터의 곱연산을 잘 생각해 보면, 위 문제는 우항의 벡터를 생성하기 위한 행렬의 두 열벡터의 선형결합식의 각 항의 계수(Coefficient)를 구하는 문제와 동일함을 알 수 있습니다. 이를 아래의 식으로 표현할 수 있습니다.

 

$$ x \begin{bmatrix}1 \\ 3\end{bmatrix}  + y \begin{bmatrix}-2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11 \end{bmatrix} 일때 $$

$$ x=?, y=? $$

 

위 식을 만족시키는 \(x, y\)값인 \(x=3, y=1\)가 문제의 해입니다. 두 벡터의 선형결합은 아래의 그림으로도 표현할 수 있습니다. 첫번째 열벡터인 \((1, 3)\)을 3배 곱한 벡터와 두번째 열벡터인 \((-2, 2)\)을 1배 곱한 벡터가 우항인 \((1, 11)\)가 됨을 확인할 수 있습니다.

 

Column Picture : 선형결합식의 각 항의 계수가 곧 방정식의 해가 됩니다

 

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마치며

주어진 상황마다 Row Picture와 Column Picture 각 관점에서 사고해보는 것이 개인적으로 선형대수학을 공부하는 데 큰 도움이 되었던 것 같습니다. 익숙한 사고에서 벗어나 유연하게 문제를 바라봄으로써 이해의 깊이와 범위를 넓힐 수 있다고 생각합니다.

※ 이 글은 Gilbert Strang 교수님의 MIT OCW 강의와 저서 「Introduction to Libear Algebra」를 참고하여 정리한 자료임을 밝힙니다. 여유가 되신다면 아래 첨부한 교수님의 강의를 들어보시는 것도 권장합니다.

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[링크 1.] Row Picture와 Column Picture에 대한 Gilbert Strang 교수님의 MIT 강의

https://www.youtube.com/watch?v=J7DzL2_Na80

MIT OCW 18.06 [1. The Geometry of Linear Equations]

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[링크 2.] Gilbert Strang 교수님의 선형대수 Course(18.06)에 대한 MIT OCW 홈페이지

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/

Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare